Wheeden and zygmund pdf

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Integrale multiplo come wheeden and zygmund pdf sotto una superficie. In questo caso il volume è calcolato come “somma” di tutti gli elementi infinitesimi che compongono il dominio. In generale gli integrali definiti di funzioni di 3 o più variabili sono interpretabili come misure di ipervolumi, ovvero di volumi di solidi di 4 o più dimensioni, non rappresentabili quindi graficamente.


Un integrale triplo, integrale definito di una funzione di tre variabili, è interpretabile fisicamente come misura della massa di un corpo che occupa lo spazio che corrisponde al dominio e che ha la densità variabile fornita dai valori della funzione stessa. La definizione di integrale di Riemann nel caso di funzioni di più variabili è concettualmente simile a quella di integrale in una sola variabile, ma è complessivamente più laboriosa a causa della varietà di insiemi su cui è eseguita l’integrazione. Valgono inoltre il teorema della media integrale e il teorema della media pesata.

Nelle applicazioni più tecniche, come quelle nel campo dell’ingegneria, la tipologia dei problemi analizzata comporta quasi esclusivamente integrali doppi e tripli. Come nel caso di una sola variabile, la definizione di integrale di Riemann richiede di integrare funzioni limitate su insiemi limitati. L’integrale di Lebesgue, invece, non ha bisogno di questa costruzione, in quanto la sua definizione comprende già i casi in cui la funzione o il dominio d’integrazione non sono limitati. Lo stesso argomento in dettaglio: Metodi di integrazione.

La risoluzione dei problemi con integrali multipli consiste nella maggior parte dei casi nel riuscire a ricondurre i calcoli ad una serie di integrali ad una variabile, gli unici direttamente risolvibili. In pochi casi particolari è possibile evitare calcoli diretti e ottenere subito il risultato dell’integrazione.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Fubini. Questa formula tuttavia non è sempre valida. Nel caso più generale, i due teoremi fondamentali in questo caso sono il teorema di Tonelli e quello di Fubini: il primo garantisce la validità della formula nel caso di funzioni positive, mentre il secondo nel caso di funzioni il cui integrale del valore assoluto converge.

Sono in un certo senso analoghi, rispettivamente, ai teoremi della convergenza monotona e della convergenza dominata per lo scambio delle operazioni di limite e integrale. Tonelli e Fubini, non è tuttavia agevole per il calcolo effettivo degli integrali. In questo caso si può ricorrere ad un cambio di variabili per aggirare il problema e integrare funzioni note su regioni “comode”, ovvero domini semplici o comunque descrivibili in maniera più semplice. In pratica, le variabili vengono trasformate secondo il cambio di variabile, ma compare un “elemento di volume” corrispondente al determinante della jacobiana.

Lo stesso argomento in dettaglio: Coordinate polari. Grazie ai metodi precedentemente descritti è possibile dimostrare il valore del volume di alcuni solidi. A volte un integrale multiplo può semplificare il calcolo di un integrale in una sola variabile.